Pot, ki si jo je izbrala, je ob vsakodnevnih teniških in kondicijskih treningih ter potovanjih na tekmovanja v tujino zelo zahtevna. Živa verjame, da se bo z vztrajnim delom, trdno voljo in neomajno predanostjo temu športu uvrstila med najboljše teniške igralke na svetu
Živa je teniški lopar v roke prvič vzela pri štirih letih v Teniškem klubu Krka Otočec. Pod vodstvom prvega trenerja Gorana Jelena in nato Gordana Jankovića je na tekmovanjih Teniške zveze Slovenije že kot deklica dokazala svojo dominantnost v vseh kategorijah teniške igre. Pri enajstih letih je osvojila prvi mednarodni naslov Tennis Europe, v letih 2014 in 2015 jih je osvojila še trinajst. Leto 2016 je zaključila kot prva na lestvici Tennis Europe do 14 let in prejela prestižno priznanje Tenis Europe Junior Tour Player of the year.
Na turnirjih svetovne mladinske teniške lestvice (ITF Junior) do 18 let je začela tekmovati januarja 2017. V letu dni je dosegla toliko zmag, da se je na tej lestvici s 1441. povzpela na 170. mesto. Tudi v letu 2018 je uspešno tekmovala na turnirjih najvišjih rangov te lestvice in bila izbrana v ekipo 12 igralk s celega sveta, ki so pod okriljem svetovne mladinske teniške zveze nastopale na ameriški turneji (v Mehiki, Paragvaju, Braziliji, na Floridi). Leta 2019 se je uvrstila med prvih 100 mladink sveta, kar ji je omogočilo nastope na grand slam turnirjih. Izjemen uspeh mladinske kariere je dosegla januarja 2020 v Avstraliji, ko se je v kategoriji dvojic s soigralko Matildo Mutavdžić iz Velike Britanije uvrstila v finale.
V letu 2020 je začela tekmovati na profesionalni članski ravni. Poleti se je v Sloveniji udeležila dveh turnirjev in na obeh zmagala, septembra pa je na Otočcu slavila zmago na svojem prvem mednarodnem profesionalnem turnirju Krka Ladies Open. Teniško sezono 2020 je zaključila kot 924. igralka svetovne WTA lestvice, nove zmage pa niza še naprej. Z zelo spodbudnimi rezultati, ki jih je dosegla na mednarodnih turnirjih (ITF PRO) se je julija 2021 povzpela na 550. mesto svetovne WTA lestvice. Sicer pa Živa že več let v različnih kategorijah uspešno nastopa tudi za slovensko državno reprezentanco. V letu 2021 je postala članica elitne FED CUP reprezentance Slovenije.
Njene teniške uspehe, zavezanost športu in vrednotam, kot so spoštovanje, sodelovanje, strpnost in srčnost, so že večkrat prepoznali na mednarodni, državni in lokalni ravni. Mestna občina Novo mesto ji je že dvakrat podelila naziv športnica leta.
Živa Falkner z dozdajšnjimi rezultati nedvomno dokazuje svojo delavnost, zavzetost in nenehno napredovanje v teniški igri. Njena usmerjenost cilju in neomajna moč izjemne tekmovalke pa jo vodita med najboljše teniške igralke na svetu.